Maille

En cristallographie, une maille est une partie finie de l'espace par translation de laquelle le motif cristallin illimité peut être obtenu à nouveau.


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  • les mailles primitives, de volume minimal et qui ne contiennent qu'un nŒud.... Zone de Brillouin : Maille de W igner-Seitzdu réseau réciproque... (source : www-lpmcn.univ-lyon1)

En cristallographie, une maille est une partie finie de l'espace par translation de laquelle le motif cristallin illimité peut être obtenu à nouveau. Les définitions de certains termes de cristallographie sont sujets à des variations selon les auteurs, aussi cet article utilise les définitions standard de l'IUCr. La disposition périodique, discrète et ordonnée des atomes à l'intérieur d'un cristal forme la structure cristalline. Si on généralise le concept de structure cristalline à tout constituant (réel ou abstrait) qui respecte la périodicité et l'existence d'un réseau discret typiques d'un cristal, on parle de motif cristallin[1]. Une maille est alors une zone de l'espace qui sert à générer le motif avec translations par un vecteur du réseau de Bravais du cristal.

Le concept de maille a été proposé par Gabriel Delafosse à partir de la notion de «molécule intégrante» introduite par René Just Haüy, qui avait remarqué qu'un cristal se clive en des cristaux plus petits de même forme que le cristal d'origine. L'étude des cristaux par diffraction des rayons X a permis de valider cette hypothèse.

Problématique de la définition de la maille

L'image illustre le fait qu'il y a plusieurs manières de paver une surface en obtenant au final précisément les mêmes nœuds ; la définition d'une maille n'est pas unique.

Une maille est une unité de répétition par translation. Le problème est que pour un cristal donné, on peut définir plusieurs mailles correspondant à plusieurs translations envisageables. Ceci pose un problème, puisque deux cristallographes pourraient décrire un même cristal de deux manières différentes, sans s'apercevoir qu'il s'agit du même.

Maille primitive ou simple

Une maille primitive ou maille simple est le motif géométrique le plus simple qui, en se répétant indéfiniment, forme un réseau cristallin. Les mailles représentées sur la figure de droite sont des mailles primitives.

Une maille primitive contient un nœud du réseau à chaque sommet, mais aucun nœud au sein de son volume ou de l'une de ses faces.

Maille de Wigner-Seitz

La Maille de Wigner-Seitz est un type spécifique de maille primitive qui est construite comme la région de l'espace la plus proche d'un nœud du réseau que de n'importe quel autre nœud. Elle contient par conséquent un nœud au centre mais aucun nœud aux sommets.


Maille réduite

Un algorithme a été trouvé dans les années 1970 pour isoler toujours un représentant unique parmi l'infinité de mailles primitives[2], nommé alors maille réduite. La première condition pour qu'une maille élémentaire soit la maille réduite est qu'elle soit basée sur les trois vecteurs de base non-coplanaires les plus petits. Des conditions spécifiques permettent de traiter le cas des réseaux où cette condition ne suffit pas à déterminer une maille unique. Actuellement, cet algorithme de réduction a été implémenté dans des logiciels qui automatisent la procédure[2].

Maille conventionnelle

Maille conventionnelle (rouge) mais aussi quatre mailles primitives (noires) du réseau orthorhombique centré oc à deux dimensions.

La maille conventionnelle est une maille dont les axes sont parallèles aux directions de symétrie du réseau. Dans le cas de réseaux centrés, la maille conventionnelle n'est par conséquent pas une maille primitive.

Les cristaux dont les mailles conventionnelles sont transformées l'une en l'autre en ajoutant ou supprimant des nœuds soit au centre des faces, soit à l'intérieur du volume de la maille, appartiennent à la même famille cristalline.

Exemple. Le réseau orthorhombique centré représenté ci-contre possède deux axes de symétrie d'ordre deux : l'un horizontal et l'autre vertical. La maille conventionnelle du réseau (maille rouge dans la figure) possède des côtés parallèles aux axes de symétrie du réseau, alors que dans la maille primitive correspondante (maille noire dans la figure), les deux directions de symétrie sont bissectrices des axes (aP et bP).

Conventions de repérage

Le réseau monoclinique n'ayant qu'une direction de symétrie, sa maille conventionnelle est normalement repérée :

Maille élémentaire

Le terme maille élémentaire est le plus utilisé dans la littérature cristallographique francophone. Comme l'adjectif «élémentaire» le suggère, la maille en question ne contient qu'un seul nœud de réseau et coïncide par conséquent avec la maille primitive ou simple. Cependant, dans l'usage courant le terme est fréquemment utilisé comme synonyme de maille conventionnelle, qui quelquefois est une maille multiple. Dans ce cas, on obtient une «maille élémentaire» qui, étant multiple, n'a plus le caractère «élémentaire». L'usage de «maille élémentaire» pour désigner une maille multiple est abusif et doit être proscrit.

Définition mathématique

La prise en compte du groupe d'espace G du cristal permet une définition plus formelle de la notion de maille. Ce groupe est constitué des opérations de symétrie – isométrie affine – laissant invariant la structure cristalline. Ce groupe comporte surtout un sous-groupe T qui sont les translations laissant le réseau invariant. Une maille primitive peut alors être vue comme un domaine essentiel du groupe T, c'est-à-dire la plus petite région reconstituant l'espace sous l'effet de T. Une maille généralement est un domaine essentiel d'un sous-groupe de T.

Unité asymétrique

Cette notion peut être généralisée. L'unité asymétrique est la plus petite région de l'espace qui, sous l'effet de l'ensemble des opérations du groupe d'espace G (et non seulement les translations, comme c'est le cas de la maille), sert à reconstruire la structure cristalline. Cela veut dire que :

Ces restrictions ne s'appliquent pas aux axes hélicoïdaux ainsi qu'aux miroirs translatoires.

L'unité asymétrique correspond par conséquent à la région principale ou au domaine essentiel du groupe de symétrie du cristal. Ce terme serait à préférer car une telle région n'est pas forcement dépourvue de symétrie mais peut avoir une forme régulière, ce qui forme une contradiction apparente avec le terme de «unité asymétrique». Ce dernier est cependant le terme standard retenu par l'Union internationale de cristallographie.

Volume de la maille

Le volume de la maille est la racine carré du déterminant du tenseur métrique qui, dans le cas général (triclinique), correspond à la formule :

V = abc \sqrt{1 - \cosˆ2{\alpha} - \cosˆ2{\beta} - \cosˆ2{\gamma} + 2 \cos{\alpha} \cos{\beta} \cos{\gamma}}

Les volumes des mailles non tricliniques s'en déduisent facilement.

Notes et références

  1. Le terme de motif cristallin est quelquefois utilisé pour décrire le contenu de la maille. Cette acception ne correspond pas à la définition de "crystal pattern" trouvée dans les tables internationales de la cristallographie, ni à la définition trouvée dans des ouvrages de référence en français comme les leçons de cristallographie de Georges Friedel.
  2. [pdf] (en) Determination of Reduced Cells in Crystallography, A. D. Mighel, V. L. Karen, R. Munro

Voir aussi

Liens externes

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 30/11/2010.
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